洛谷P1040/树形DP/区间DP
题目描述
设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：
subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数。
若某个子树为空，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。
试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；
（1）tree的最高加分
（2）tree的前序遍历
输入格式：
第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。
第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。
输出格式：
第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。
第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。
输入输出样例
输入样例：
5
5 7 1 2 10
输出样例：
145
3 1 2 4 5
题目链接：洛谷P1040
题目解读
中序遍历为1，2，3，…..，那么当k为根节点时，编号小于k的节点必然在左子树上，编号大于k的节点必然在右子树上。对于一个节点，当他的值最大时，必然是他左右节点乘积最大时，那么有状态转移方程
f[i][j]=max(f[i][k-1]f[k+1][j])+point[k]，i<=k<=j
遍历每一个节点当作根结点时的情况，再向左子树右子树分别遍历，当f[i][j]有值时直接返回值，没有值时找到最大值并返回（可能不是很好理解，具体见代码）。
同时，每次f[i][j]取得max时，记录root[i][j]，也就是i节点和j节点的根节点，方便输出前序遍历。
更新一个区间DP的写法，思路都是一样的，区间DP先找出两个节点组成树的所有情况，再根据上面的状态转移方程，找出3个节点的情况，最后一步步推出所有节点的情况。
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| #include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long ans,f[31][31];
int n,root[31][31],cot=1;
long long dfs(int left,int right)
{
long long k;
if(left>right) return 1;
if(f[left][right]==-1)
{
for(int i=left;i<=right;i++)
{
k=dfs(left,i-1)*dfs(i+1,right)+f[i][i];
if(k>f[left][right])
{
f[left][right]=k;
root[left][right]=i;
}
}
}
return f[left][right];
}
void pretra(int left,int right)
{
if(left>right) return;
if(cot++!=1)
cout<<' ';
cout<<root[left][right];
pretra(left,root[left][right]-1);
pretra(root[left][right]+1,right);
return ;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i;j<=n;j++)
{
f[i][j]=-1;
root[i][i]=i;
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>f[i][i];
cout<<dfs(1,n)<<endl;
pretra(1,n);
return 0;
}
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区间DP的主要代码：
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| for(int len=2;len<=n;len++){
for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
int j=i+len-1;
for(int k=i;k<=j;k++){
if(f[i][j]<f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k]){
f[i][j]=f[i][k-1]*f[k+1][j]+f[k][k];
root[i][j]=k;
}
}
}
}
|